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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Calcule los siguientes límites
f) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sin(x)}$
f) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sin(x)}$
Respuesta
De nuevo, cuando hacemos un análisis de situación de este límite
Reportar problema
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sin(x)}$
vemos que, al igual que en el item anterior, estamos frente a una indeterminación de tipo $0^0$. Como ya te dije, estos límites aparecen acá y nunca más, jamás los vi en parciales o en finales. Ya que estás acá te muestro cómo lo resolvemos, vamos a seguir los mismos pasos que en el item anterior.
Empezamos tomando el logaritmo natural de la función $x^{\sin(x)}$:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x^{\sin(x)})$
Usando propiedad de logaritmos:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sin(x) \cdot \ln(x)$
Ahora tenemos una indeterminación del tipo "cero por infinito". Vamos a reescribir el límite como un cociente para poder aplicar L'Hopital.
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}}$
Ahora estamos frente a un "infinito sobre infinito". Aplicamos L'Hopital:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} -\frac{\sin^2(x)}{x \cos(x)}$
Ahora tenemos un "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital una vez más
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-2\sin(x)\cos(x)}{\cos(x) - x\sin(x)} = 0$
Y, al igual que nos pasó en el item anterior, ojo que este no es el resultado del límite, no te olvides que habíamos arrancado tomando el logaritmo natural de la función! Entonces, el límite del logaritmo natural es $0$, y por lo tanto, volviendo a la función original, tenemos:
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sin(x)} = e^0 = 1$